Kakšna številka ustreza 46251, kako breskev ustreza sladkosti?

Oddelki: Matematika

Priročnik je namenjen učiteljem matematike v tehničnih šolah in študentom drugega letnika vseh specialnosti.

Prispevek predstavlja osnovne koncepte teorije nizov. Teoretično gradivo ustreza zahtevam državnega izobraževalnega standarda srednjega poklicnega izobraževanja (Ministrstvo za šolstvo Ruske federacije. M., 2002).

Predstavitev teoretičnega gradiva o celotni temi spremlja obravnava številnih primerov in nalog, ki se izvaja po dostopnem, če je mogoče, strogem jeziku. Na koncu priročnika so primeri in naloge, ki jih učenci lahko izvajajo v načinu samokontrole.

Priročnik je namenjen študentom korespondence in rednega izobraževanja.

Glede na stopnjo izobrazbe študentov tehnične šole, pa tudi izjemno omejeno število ur (12 ur + 4 lbs.), Kar program omogoča dokončanje višje matematike v tehničnih šolah, so izpuščeni strogi zaključki, ki predstavljajo velike težave pri učenju, omejeni na obravnavo primerov.

Rešitev problema, predstavljenega v matematičnem smislu, na primer v obliki kombinacije različnih funkcij, njihovih derivatov in integralov, mora biti sposobna »pripeljati do števila«, kar je najpogosteje končni odgovor. Za to so bile razvite različne metode v različnih vejah matematike.

Področje matematike, ki omogoča, da se z ustrezno natančnostjo za praktično uporabo reši vsak pravilno postavljen problem, se imenuje teorija serije.

Tudi če bi se nekateri subtilni koncepti matematične analize zdeli nepovezani s teorijo nizov, so jih takoj uporabili v nizih, ki so služili kot orodje za testiranje pomena teh pojmov. Takšne razmere so še vedno prisotne.

kjer ; ;...; ;... - člani serije; - n-ti ali skupni član serije se imenuje neskončna serija (vrstica).

Če člani serije:

  • številke, se serija imenuje numerična;
  • številke enega znaka, se serija imenuje znak trajnega;
  • številu različnih znakov se serija imenuje izmenično;
  • pozitivna števila se serija imenuje znak pozitivna;
  • številke, katerih znaki se strogo izmenjujejo, serija se imenuje izmenični znaki;
  • funkcija se imenuje funkcionalna;
  • stopnja se serija imenuje moč;
  • trigonometričnih funkcij, se serija imenuje trigonometrična.

1.1. Osnovni pojmi številskih serij.

Številka se imenuje vsota obrazca

kjer,,,...,,..., imenovani člani serije, tvorijo neskončno zaporedje; član se imenuje skupni član serije.

sestavljeni iz prvih članov serije (1.1) se imenujejo delne vsote te serije.

Vsaka vrstica je lahko povezana z zaporedjem delnih vsot.

Če se pri neskončnem povečanju števila n delna vsota zaporedij približa meji, se serija imenuje konvergentna, število pa je vsota konvergentnih nizov, tj.

Ta vnos je enakovreden

Če delna vsota serije (1.1) z neomejenim povečanjem n nima končne meje (skuša ali), se taka serija imenuje divergentna.

Če je serija konvergentna, potem je vrednost za dovolj veliko n približni izraz vsote serije S.

Razlika se imenuje preostanek serije. Če zaporedje konvergira, njegov ostanek teži na nič, t.j. in obratno, če ostanek teži na nič, potem se serija konvergira.

1.2. Primeri numeričnih serij.

Primer 1. Številne vrste

Geometrična serija je sestavljena iz članov geometrijske progresije.

Znano je, da je vsota svojih prvih n članov. Očitno: to je n-ta delna vsota serije (1.2).

Serija (1.2) ima obliko:

Serija (1.2) ima obliko:

brez omejitev, se serija razlikuje.

- končno število konvergira.

Torej se ta serija konvergira in se razveja.

Primer 2. Številne vrste

Vnesemo delni znesek te serije:

Znesek je višji od zneska, kot sledi:

Zato, če, potem, t.j. harmonična vrstica odstopa.

Primer 3. Številne vrste

imenujemo generalizirana harmonika.

Če, potem je ta serija vlečena v harmonično serijo, ki je divergentna.

Če so potem člani danih serij večji od pripadajočih členov harmonskih serij in se zato razhajajo. Ko imamo geometrijsko vrsto, v kateri; konvergenten je.

Tako generalizirana harmonska serija konvergira pri in odstopa od.

1.3. Potrebni in zadostni znaki konvergence.

Potreben znak konvergence serije.

Serija se lahko približa le pod pogojem, da njen skupni izraz teži k ničli z neomejenim povečanjem števila.

Če, potem se serija razlikuje - to je zadosten znak razhajanja serije.

Zadostni dokazi o konvergenci niza s pozitivnimi izrazi.

Znak primerjave vrstic s pozitivnimi člani.

Proučevana serija konvergira, če njeni člani ne presegajo ustreznih članov druge, očitno konvergentne serije; preučevana vrsta se razlikuje, če njeni člani presegajo pripadajoče člane druge, očitno divergentne serije.

Če za vrstico s pozitivnimi člani

pogoj je izpolnjen, serija konvergira pri in odstopa.

Sign of d'Alembert ne daje odgovora, če. V tem primeru se za raziskovanje serije uporabljajo druge metode.

Zapišite serijo določenega skupnega člana:

Prenos,,,... imamo neskončno zaporedje števil:

,,. Z dodajanjem članov dobimo serijo

S tem naredimo isto, dobimo serijo

Dajanje vrednosti 1,2,3,... in glede na to, da..., dobimo številko

Poiščite n-tega člana v skladu z njegovimi prvimi člani:

Imenovalci serije, začenši s prvim, so parne številke; zato ima n-ti član serije obliko.

Številke članov serije sestavljajo naravno vrsto številk, ustrezni imenovalci - naravni niz številk in ustrezni imenovalci - naravni niz številk, ki se začne od 3. Znaki se izmenjujejo z zakonom ali zakonom. Zato ima n-ti član serije obliko. ali

Raziščite konvergenco serije, pri čemer uporabite potreben znak konvergence in znak primerjave:

Potreben znak konvergence serije je zadovoljen, vendar je za rešitev konvergenčnega vprašanja treba uporabiti enega od zadostnih znakov konvergence. Primerjajmo to serijo z geometrijsko serijo.

ki se konvergira.

Če primerjamo člane te serije, začenši z drugim, z ustreznimi člani geometrijske vrste, dobimo neenakosti.

t.j. člani te serije, začenši z drugim, so ustrezno manjši od članov geometrijske vrste, iz tega sledi, da dane serije konvergirajo.

Tukaj je zadostna navedba razhajanj serije; zato se serija razlikuje.

Izvede se potreben znak konvergence serije. Primerjaj to serijo z generaliziranimi harmonskimi serijami

ki konvergira, ker posledično ta serija konvergira.

Raziščite konvergenco serije z znakom dalamber:

Če nadomestimo število n + 1 v skupni član serije, namesto n, dobimo. Poiščite omejitev razmerja i-tega člana na n-ti član z:

Zato se ta serija konvergira.

Torej je ta serija različna.

, t.j. vrstica se razlikuje.

Ii. Izmenična vrstica

2.1 Koncept izmenične serije.

se imenuje izmenično, če med njegovimi člani obstajajo pozitivna in negativna števila.

Številčni niz se imenuje izmenično, če imata dva sosednja izraza nasproten znak.

kjer za vse (tj. serijo, katere pozitivni in negativni izrazi se izmenično izmenjujejo). Na primer

Za izmenične serije obstaja zadosten znak konvergence (ki jo je leta 1714 ustanovil Leibniz v pismu I. Bernoulliju).

2.2 Leibnizov znak. Absolutna in pogojna konvergenca serije.

Teorem (znak Leibniz).

Izmenične serije konvergirajo, če:

Zaporedje absolutnih vrednosti članov serije se monotono zmanjšuje, t.j. ;

Skupni član serije se nagiba na nič:.

Poleg tega vsota S zaporedja izpolnjuje neenakosti

Študija izmeničnih vrst vrst

(z negativnim prvim članom) se zmanjša z množenjem vseh članov s študijo serije.

Serije, za katere so izpolnjeni pogoji Leibnizovega teorema, se imenujejo Leibnitz (ali Leibnizova serija).

Razmerje nam omogoča, da dobimo preprosto in priročno oceno napake, ki jo naredimo tako, da vsoto S te serije nadomestimo z delno vsoto.

Zavržena vrstica (ostanek) je tudi izmenična vrstica, katere vsota je manj kot prvi član te vrstice, t.j.. Zato je napaka manjša od modula prvega od padlih članov.

Primer. Izračunajte približno vsoto vrstice.

Rešitev: ta vrsta vrste Leibniz. Konvergira. Lahko napišete:

Ob petih članih, tj. zamenjati z

, naredite manjšo napako

Za izmenične serije velja naslednje splošno zadostno merilo konvergence.

Teorem. Naj bo podana izmenična serija

Če se serija konvergira

sestavljen iz modulov članov te serije, se izmenjujoča serija konvergira.

Znak Leibnizove konvergence za izmenične serije je zadosten pokazatelj konvergence izmeničnih serij.

Izmenična serija se imenuje absolutno konvergentna, če se serije, sestavljene iz absolutnih vrednosti njenih članov, zbližajo, tj. vsaka absolutno konvergentna serija je konvergentna.

Če izmenična serija konvergira in se nizi, sestavljeni iz absolutnih vrednosti njegovih članov, razhajajo, se ta serija imenuje pogojno (ne-absolutno) konvergentna.

Raziščite konvergenčno (absolutno ali pogojno) serijo znakov, ki se izmenjujejo:

Člani te serije monotono zmanjšujejo absolutno vrednost:

Posledično se glede na atribut Leibniz serija konvergira. Ugotovite, ali se ta serija konvergira povsem ali pogojno.

Serija, ki jo sestavljajo absolutne vrednosti dane serije, je harmonična serija, ki odstopa. Zato se ta serija pogojno konvergira.

Člani te serije monotono zmanjšujejo absolutno vrednost:

Serija se razlikuje, saj znak Leibniz ni zadovoljen.

Z znakom Leibniz, dobimo

t.j. serija konvergira.

Razmislite o seriji, sestavljeni iz absolutnih vrednosti članov dane serije:

To je geometrijska vrsta oblike, kjer se konvergira. Zato je ta serija popolnoma usklajena.

Z znakom Leibniz imamo

, t.j. serija konvergira.

Razmislite o seriji, sestavljeni iz absolutnih vrednosti članov dane serije:

To je generalizirana harmonska serija, ki se od takrat razlikuje. Zato se ta serija pogojno konvergira.

III. Funkcionalno območje

3.1. Koncept funkcionalne serije.

Serija, katere člani so funkcije iz, se imenuje funkcionalna:

Če damo določeno vrednost, dobimo številne serije

ki so lahko konvergentni in divergentni.

Če nastajajoča numerična serija konvergira, se točka imenuje konvergenčna točka funkcionalne serije; če se serija razlikuje - točka razhajanja funkcionalne serije.

Niz numeričnih vrednosti argumenta, pri katerem konvergira funkcionalna serija, se imenuje njegova regija konvergence.

Na področju konvergence funkcionalne serije je njena vsota določena funkcija:.

Določa se na področju konvergence po enakosti

- delni vrstici.

Primer. Poiščite regijo konvergence serije.

Odločitev. Ta serija je serija geometrijske progresije z imenovalcem. Zato ta serija konvergira pri, t.j. z vsemi; vsota serije je enaka;

3.2. Moč serije.

Moč serije je vrsta vrst.

kjer se številke imenujejo koeficienti serije, in član je skupni član serije.

Področje konvergence močnostnih serij je množica vseh vrednosti, pri katerih se določena serija konvergira.

Številko imenujemo polmer konvergence močnostnega niza, če zaporedje konvergira in poleg tega absolutno in ko se serija razhajata.

Polmer konvergence bomo našli z znakom dalamber:

t.j. če se močnostni nizi konvergirajo za vse, ki izpolnjujejo ta pogoj, in odstopajo za.

Iz tega sledi, da če obstaja omejitev

potem je polmer konvergence zaporedja enaka tej meji in serija moči konvergira kot, t.j. v intervalu, ki se imenuje interval (interval) konvergence.

Če se potem močnostni niz konvergira na eni točki.

Na koncih vrzeli se lahko serija konvergira (absolutno ali pogojno), vendar se lahko razhajata.

Konvergenca močnostnih serij za in je raziskana z uporabo katerega koli od znakov konvergence.

Poiščite regijo konvergence serije:

Odločitev. Poiščite polmer konvergence serije:

Zato ta serija popolnoma konvergira na celotni številski osi.

Odločitev. Uporabite znak dalamber. Za to serijo imamo:

Serija se popolnoma konvergira, če ali. Raziskujemo obnašanje serije na koncih intervala konvergence.

Ko imamo serijo, ki konvergira na podlagi Leibniza.

Ko imamo serijo - to je tudi konvergentna Leibnitseva serija. Posledično je območje konvergence prvotne serije segment.

Odločitev. Poiščite polmer konvergence serije:

Posledično se serija konvergira pri, t.j. na.

Ko imamo serijo, ki konvergira na podlagi Leibniza.

Ko imamo različne vrste

Posledično je območje konvergence prvotne serije praznina.

Iv. Razgradnja elementarnih funkcij v Maclaurinovi seriji.

Za aplikacije je pomembno, da lahko funkcijo razgradimo v močnostni niz, tj. funkcija predstavlja vsoto močnostnega niza.

Taylorjeva vrsta za funkcijo se imenuje močnostni niz oblike

Če, potem dobimo poseben primer serije Taylor

ki se imenuje Maclaurinova serija.

Močnostni niz v svojem konvergenčnem intervalu se lahko diferencira in integrira tolikokrat, kot je zaželeno, pri čemer imajo dobljeni nizi enak konvergenčni interval kot izvirna serija.

Dve močnostni seriji se lahko dodata termično in pomnožita s pravili seštevanja in množenja polinomov. V tem primeru interval konvergence dobljenih novih serij sovpada s skupnim delom intervalov konvergence izvirne serije.

Če želite funkcijo razdeliti v serijo Maclaurin, morate:

Izračunajte vrednosti funkcije in njenih zaporednih derivatov na točki, t.j.,,...,,

Sestavite Maclaurinovo serijo z nadomestitvijo vrednosti funkcije in njenih zaporednih derivatov v formuli Maclaurinove serije;

Najdite interval konvergence dobljenih serij po formuli

Tabela, ki vsebuje Maclaurinove razširitve nekaterih elementarnih funkcij:

Primer 1. Razširiti funkcijo v Maclaurinovo serijo.

Odločitev. Ker, potem, ko nadomeščamo v razpadu, dobimo:

Primer 2. Napišite Maclaurinovo vrsto funkcij.

Odločitev. Ker z uporabo formule, v kateri nadomeščamo, dobimo:

Primer 3. Razširimo funkcijo v serijo Maclaurin.

Odločitev. Uporabljamo formulo. Tako kot

, nato nadomestite, da dobite:

V. Praktične naloge za samokontrolo študentov.

Uporaba znaka primerjave vrstic za ugotavljanje konvergence

ali razhajanja serije:

Da bi raziskali na podlagi d'Alemberta konvergenco serije:

Raziščite konvergenčno (absolutno ali pogojno) serijo znakov, ki se izmenjujejo:

Poiščite intervale konvergence naslednjih serij in ugotovite vprašanje njihove konvergence na koncih intervalov konvergence:

Z uporabo Maclaurinovih serijskih ekspanzij funkcije,,,, razgradimo močnostni niz funkcije:

I.

  1. konvergirajo;
  2. odstopa;
  3. konvergirajo;
  4. konvergirajo;
  5. odstopa;
  6. konvergirajo;
  7. konvergirajo;
  8. odstopa;
  9. konvergirajo;
  10. zbližuje.

Ii.

  1. konvergira popolnoma;
  2. konvergira popolnoma;
  3. pogojno;
  4. pogojno;
  5. konvergira popolnoma.

VII. Zgodovinsko ozadje.

Rešitev številnih problemov se omeji na izračun vrednosti funkcij in integralov ali reševanje diferencialnih enačb, ki vsebujejo izvedene ali diferencialne neznane funkcije.

Vendar pa je natančna izvedba teh matematičnih operacij v mnogih primerih zelo težka ali nemogoča. V teh primerih je možno pridobiti približno rešitev številnih problemov s poljubno želeno natančnostjo.

Serija je preprosto in popolno matematično orodje za analizo približnega izračuna funkcij, integralov in rešitev diferencialnih enačb.

Teorija serije je nastala v tesni povezavi s teorijo približne predstavitve funkcij v obliki polinomov. Prvič je to storil I. Newton (1642 - 1727). leta 1676 V pismu sekretarju Kraljeve družbe v Londonu se je pojavila formula:

ki jih poznamo kot Newtonovo binomsko formulo.

Tu vidimo funkcijo, ki je predstavljena kot polinom. Toda, če število ni naravno, na desni strani enakosti ne dobimo polinoma, temveč neskončno vsoto izrazov, tj. Niz.

Razvoj ideje Newtona, angleškega matematika Brooke Taylor (1685 - 1731) leta 1715. dokazala, da se lahko vsaka funkcija, ki ima derivate vseh naročil na točki, primerja z:

Med funkcijo, ki ima končno vrednost za katero koli vrednost in funkcijsko vrstico na desni, še ne moremo dati enakovrednega znaka.

Da bi namesto znaka »lahko« dali enak znak, je potrebno izvesti nekaj dodatnih argumentov, ki se nanašajo natanko na neskončnost števila izrazov na desni strani enakosti in se nanašajo na regijo konvergence niza.

Ko Taylorjeva formula prevzame obliko, v kateri se imenuje Maclaurinova formula:

Colin Maclaurin (1698–1746), Newtonov učenec, v svoji razpravi o fluksih (1742) je ugotovil, da je močnostni niz, ki izraža analitično funkcijo, edini, in to bo Taylorjeva vrsta, ki jo generira taka funkcija. V Newtonovi binomski formuli so koeficienti za moči vrednosti, kjer.

Tako se je serija pojavila v XVIII. Stoletju. kot način predstavljanja funkcij, ki omogočajo neskončno razlikovanje. Vendar pa funkcija, ki jo predstavlja serija, ni bila imenovana njena vsota, in na splošno v tistem času še ni bilo ugotovljeno, kaj je vsota numerične ali funkcionalne serije, temveč so bili poskusi uvesti ta koncept.

Na primer, L. Euler (1707-1783), ki je napisal ustrezno serijo moči za funkcijo, je spremenljivki pripisal določeno vrednost. Rezultat je bil numerični niz. Euler je prebral vrednost prvotne funkcije na točki kot vsoto te serije. Toda to ni vedno res.

Dejstvo, da divergentne serije nimajo vsote, znanstveniki začeli ugibati šele v XIX stoletju, čeprav v XVIII stoletju. mnogi in predvsem L. Euler so veliko delali na konceptih konvergence in razhajanj. Euler je serijo imenoval konvergenten, če se njegov skupni izraz nagiba k ničli s povečevanjem.

V teoriji divergentnih serij je Euler pridobil veliko pomembnih rezultatov, vendar ti rezultati dolgo niso našli aplikacije. Leta 1826 N.G. Abel (1802 - 1829) je divergentne vrste imenoval »hudičevo izdelovanje«. Rezultati Eulerja so našli utemeljitev šele ob koncu XIX. Stoletja.

Pri oblikovanju koncepta vsote konvergentnega niza je francoski znanstvenik O.L. Cauchy (1789 - 1857); naredil je izjemno količino ne samo v teoriji nizov, ampak tudi v teoriji mej, pri razvoju samega pojma meje. Leta 1826 Cauchy je izjavil, da različna serija nima vsote.

Leta 1768 Francoski matematik in filozof J.L. D'Alembert je raziskal razmerje naslednjega termina v prejšnjem delu binomskih serij in pokazal, da če je to razmerje manjše od enega v absolutni vrednosti, se serija konvergira. Cauchy leta 1821 Dokazal je izrek, ki na splošno navaja znak konvergence znakov-pozitivnih serij, ki se zdaj imenuje znak D'Alembert.

Za raziskavo konvergence izmeničnih serij se uporablja Leibnitzova funkcija.

G.V. Leibniz (1646 - 1716), veliki nemški matematik in filozof, skupaj z I. Newtonom je ustanovitelj diferencialnega in integralnega računa.

Primarni:

  1. Bogomolov N.V., Praktično usposabljanje iz matematike. M., “Visoka šola”, 1990 - 495 str.
  2. Tarasov NP, Tečaj višje matematike za tehnične šole. M., “Science”, 1971 - 448 str.
  3. Zaitsev I.L., višji tečaj matematike za tehnične šole. M., državna založba tehničnih šol - teoretična literatura, 1957 - 339 str.
  4. Pisni DT, tečaj predavanj iz višje matematike. M., “Iris Press”, 2005, 2. del - 256 str.
  5. Vygodsky M.Ya., Priročnik za višjo matematiko. M., “Science”, 1975 - 872 str.

Dodatno:

  1. Gusak AA, Višja matematika. V 2 tonah, Vol.2: Učbenik za študente. Mos., “TetraSystems”, 1988 - 448 str.
  2. Griguletsky VG, Lukyanova IV, Petunina IA, Matematika za študente ekonomskih specialnosti. 2. del: Krasnodar, 2002 - 348 str.
  3. Griguletsky V.G. in drugi: Questbook praktikum iz matematike. Krasnodar. KSAU, 2003 - 170 str.
  4. Griguletsky VG, Stepantsova KG, Getman VN, Naloge in vaje za študente računovodstva in financ. Krasnodar. 2001 - 173 sekund;
  5. Griguletsky VG, Yashchenko Z.V., višja matematika. Krasnodar, 1998 - 186 str.
  6. Malykhin VI, Matematika v ekonomiji. M., "Infra-M", 1999 - 356s.

Numerične serije, njihova vsota, konvergenca, primeri

Koncept številnih serij

Prvo poznavanje numeričnih serij naših bralcev je potekalo v srednji šoli pri proučevanju aritmetične progresije in geometrijske progresije. Iz teh lekcij ste se naučili, da je za določitev teh sekvenc potrebno določiti zakon za iskanje vsakega izraza v zaporedju, običajno napisano kot formula.

Če je u 1, u 2, u 3,. u n,. je neskončno zaporedje števil, nato formalno pisno izražanje

imenujemo serija neskončnih števil (ali samo številske serije). Elipsa na koncu (včasih se šali, da je bistvo serije v njej) kaže, da izraz (1) nima zadnjega izraza, naslednje je vedno za vsakim izrazom. Tako je serija številk "neskončna" vsota števil.

Skratka (s simbolom "sigma") lahko zapišemo serijsko številko (1) kot

kjer indeksi na dnu in na vrhu simbola vsote pomenijo, da morate vzeti vsoto števil u n, ko n sprejme celoštevilčne vrednosti od 1 do ∞.

Številke u 1, u 2, u 3,. u n,. Imenujejo se člani številske serije, in član serije, ki stoji na 9. mestu od začetka, se imenuje skupni član.

Primeri številskih serij so:

Za določitev številske serije je treba navesti pravilo, zakon o izobraževanju svojih članov, po katerem je mogoče najti vsakega člana (ponovno opozoriti na šolske lekcije o aritmetičnih in geometrijskih progresijah). Najpogosteje se številske serije podajajo s formulo splošnega izraza kot funkcije naravnega števila n. Na primer, če je, potem je določena naslednja serija številk:

če dobimo številne serije

Če še rečemo, da je podana numerična serija, bomo domnevali, da je podan njen skupni izraz.

Primer 1. Zapišite prvih pet članov številske serije, če je podana formula za njen skupni izraz:

Odločitev. Številke 1, 2, 3, 4, 5 zamenjajte s formulo namesto n.

Primer 2. Vpišite formulo za skupni izraz številske serije, če je podanih pet njegovih prvih članov:

Odločitev. Iščemo vzorec oblikovanja članov serije. Vidimo lahko, da je imenovalec v določeni meri število 3. Za prvega člana serije je stopnja nič, to je 1 - 1, za drugi izraz je stopnja 1, to je 2 - 1, za peti, 4, to je 5 - 1. Zato je stopnja števila tri n - 1. v številčnici je število vedno 2 manj kot 3n. Zato je formula za skupni izraz serije:

Reševanje problemov na numeričnih serijah neodvisno, nato pa glej rešitve

Primer 3. Napišite prve tri člane serije in.

Primer 4. Določite skupnega člana serije

Vsota serij številk

Pri dodajanju končnega števila dodajalcev se vedno pridobi določen numerični rezultat, toda niti moški niti računalnik ne moreta izračunati vsote neskončnega števila dodajalcev, saj se proces dodajanja članov numerične serije (po definiciji) nikoli ne konča.

To pomeni, da je izraz (1) formalni, ker vsota neskončnega števila izrazov ni definirana. Kljub temu se v tem izrazu pojavi znak seštevanja in implicitno se šteje, da se člani serije nekako ujemajo. Vsota končnega števila izrazov bo najdena, če se doda ena za drugo. To vodi do ideje, da se številski seriji dodeli število in jo poimenujemo vsota numeričnih serij. V ta namen se uvede koncept delne vsote serije.

Približne vsote številnih serij (1)

imenujemo delne vsote številskih serij.

Vsota n prvih članov številske serije se imenuje n-ta delna vsota:

Delne vsote numeričnih serij imajo končno število izrazov, to so »navadne« vsote, ki jih je mogoče najti, izračunati. Za številske serije dobimo neskončno zaporedje njenih delnih vsot.

Koncept konvergence numeričnih serij

Če so vrednosti delnih vsot z neomejenim povečanjem n, to je, ko se nagibajo k določenemu številu S, potem obstaja meja

potem se številske serije imenujejo konvergentne.

To število S se imenuje vsota številskih serij. V tem smislu lahko napišemo naslednjo enakost:

Primer konvergenčnih številskih serij:

Za vsako zaporedje številk zaporedje njenih delnih vsot ne dosega določene meje. Na primer, za serijo

delni zneski se izmenjujejo med 1 in 0:

Če meja zaporedja delnih vsot serije ne obstaja, se numerična serija imenuje divergentna. Divergentno število ni.

Primer 5. Določite delno vsoto številskih serij

razčlenjevanje skupnega pojma serije v elementarne frakcije z metodo nedoločenih koeficientov in iskanje vsote nizov.

Odločitev. Skupni izraz serije razčlenimo na elementarne frakcije:

Ker so frakcije enake in so imenovalci enaki, morajo biti števci enaki:

Ta enakost velja za vse n:

Delna količina serij:

Primer 6. Preučite konvergenco številskih serij (2).

Odločitev. Izdelamo delne vsote serije:

Predstavljajte si jih kot

Vzorec nastajanja delnih vsot je lahko opazen: vsak predstavlja razliko med enoto in frakcijo, katere števec je 1, imenovalec n-tega delnega zneska pa je n + 1, t.j.

Poiščite mejo zaporedja delnih vsot:

Zato se serija številk (2) konvergira, njeno zaporedje pa je 1.

Preučite konvergenco številskih serij (3):

ki se imenuje geometrična, saj so njeni člani člani geometrijske progresije, katere prvi član je a, imenovalec pa je q.

Upoštevajte delni znesek te serije:

Je enaka vsoti izrazov geometrijske progresije, če

Poiščite mejo zaporedja delnih vsot geometrične serije. Razlikovati je treba štiri možnosti:

1. Če je to razlog

2. Če to ne obstaja, potem zaporedje delnih vsot nima omejitve.

3. Če je q = 1, dobimo niz a + a + a +. +.. Njegovi delni znesek

odvisno od znaka a.

4. Če je q = - 1, dobimo serijo

Njene delne vsote so izmenično enake a in 0:

in tako naprej Toda takšno zaporedje nima nobenih omejitev.

Ugotovili smo, da geometrična serija (3) konvergira, če je imenovalec manjši od enega:

in njegova vsota je enaka

in odstopa, če je enak ali večji od enega:

Primer 7. Raziskati konvergenco numeričnih serij:

Odločitev. To so geometrijske vrstice. Za številko (*)

za serijo (***) q = 4/3; za serijo (****) q = - 1. Zato se prvi dve vrsti zbližata, zadnji dve pa se razhajata.

Primer 8. Določite, ali se številske serije konvergirajo

Če je tako, poiščite njegovo količino.

Odločitev. Ta serija je geometrična poleg prvega člana in. Ker se serija konvergira. Vsota zaporedja najdemo po formuli vsote geometrijskih serij.

Sami določite konvergenco serije in nato videli rešitev

Primer 9. Določite, ali se vrstica konvergira.

Lastnosti konvergenčnih številskih serij

Naj podamo serijo s skupnim članom. Potem vrstico s skupnim članom, to je vrstico

imenujemo produkt serije (1) s številko c. Konvergenca serije (1) zagotavlja konvergenco in njene produkte s številom c. To določamo z naslednjim izrekom.

Teorem 1. Če serija (1) konvergira in ima vsoto, ki je enaka S, potem njen produkt s številom c prav tako konvergira in ima vsoto, ki je enaka S:

Posledično lahko skupni faktor članov konvergentnega niza izloči iz oklepajev, pri tem pa upoštevamo izpolnitev enakosti (12).

Naj bodo dani dve vrstici s skupnimi člani in:

Potem je bila vrstica s skupnim članom

imenuje se vsota teh serij:

Teorem 2. Vsota dveh konvergentnih serij je konvergentna vrsta, njena vsota pa je enaka

kjer sta S 'in S' 'vsota komponent serije:

To pomeni, da se konvergentna serija lahko doda po izrazu, ob upoštevanju teoreme 1 pa jo lahko odštejemo ob upoštevanju izpolnitve enakosti (16) za vsoto serij in enakosti za razliko zaporedja.

Opredelitev Razlika med vsoto S in delno vsoto S n konvergenčnih številskih serij je razširjena za preostanek serije in je označena z R n:

Za konvergentne serije

to pomeni, da je meja preostalega konvergentnega niza enaka nič.

Teorem 3. Če serija konvergira, potem vsak njen ostanek konvergira in obratno, če kateri koli ostanek serije konvergira, potem tudi sama serija konvergira.

To pomeni, da konvergenca serije ne vpliva na končno število prvih članov. V seriji lahko padec ali dodate katero koli končno število članov. Iz tega sledi, da konvergenca (ali divergenca) serije ni kršena, ampak se njena vsota spreminja.

Če se konvergenca niza ugotovi na podlagi definicije konvergence, se bo našla tudi njena vsota. Tako smo storili pri proučevanju konvergence serij (2) in (3). Vendar je na ta način pogosto zelo težko rešiti vprašanje konvergence serije. Zato je uporabljena druga metoda, ki omogoča le ugotovitev dejstva konvergence (divergenca) serije, saj se vsota konvergentnih serij vedno lahko najde z vsako stopnjo natančnosti z izračunom vsote dovolj velikega števila njenih prvih članov.

Primer 10. Poiščite vsoto številskih serij

Odločitev. Iz izrekov 1 in 2 o lastnostih konvergentnega niza sledi:

če serija in konvergirajo in in, potem za vsako realno število α in β serija tudi konvergira in.

Nadaljujmo do znakov konvergence serij.

Potreben znak konvergence številskih serij

Teorem. Če se serija konvergira, potem je omejitev skupnega izraza na

Preiskava. Če je omejitev skupnega člana serije na

ne nič, se serija razlikuje.

Primer 11. S potrebnim atributom konvergence preiščite konvergenco številnih serij

Odločitev. Skupni član serije

Poiščite njegovo mejo na

Zato se ta serija razlikuje.

Primer 12. S potrebnim atributom konvergence raziščite konvergenco številnih serij

Odločitev. Poiščite omejitev skupnega trajanja serije na

Ker (meja skupnega izraza ni nič), se ta serija razlikuje.

Sami določite konvergenco serije in nato videli rešitev

Primer 13. Z uporabo potrebnega atributa konvergence določite, ali se serija konvergira

Primer 14. Ugotovite, ali se vrstica konvergira.

Primer 15. Zabeležite prvih pet članov številske serije

in ugotovi, ali se ta serija konvergira.

Odločitev. Prvih pet članov te številčne serije:

Poiščite omejitev skupnega trajanja serije na

Ker (meja skupnega izraza je nič), se ta serija konvergira.

Ugotovili smo, da če se številska serija konvergira, je meja njenega splošnega pojma nič, kar pomeni, da je pogoj (17) izpolnjen.

Vendar izpolnitev pogoja (17) ne zagotavlja konvergence številskih serij, kar za to ne zadostuje. Obstajajo različni razredi, katerih meje so skupni člani

Primer take serije je serija (4):

ki se imenuje harmonična. Zaporedje njegovih delnih vsot

monotono narašča, ker so člani serije pozitivni. Pokazamo, da se povečuje neomejeno. V ta namen se člani harmonskih serij, začenši s tretjim, združijo v skupine:

V prvem smo vključili dva člana (3. in 4.), v drugem

(od 5. do 8.), v tretjem

člani (od 9. do 16.) itd., vsakič podvojijo število članov v skupini. Takšne skupine so očitno neskončne. Če nadomestimo člane serije v vsaki skupini s svojimi zadnjimi člani, se vsota članov te skupine zmanjša in potem so neenakosti resnične.

Vsota članov vsake skupine je večja od 1/2, vsota članov, ki so vključeni v dovolj veliko število skupin, pa je poljubno velika. Posledično se zaporedje delnih vsot harmonskih serij povečuje za nedoločen čas, serija pa se razlikuje, čeprav je njen skupni izraz

teži na nič.

Upoštevajte, da se delne vsote harmonskih serij povečujejo, čeprav omejene, vendar počasi.

Študija konvergence serije se običajno začne s preverjanjem izpolnjevanja pogoja (17), da bi se takoj izločili različni nizi, za katere ta pogoj ni izpolnjen. Vendar pa izpolnitev tega pogoja samo pravi, da se lahko serija konvergira. Konvergira ali odstopa, mora pokazati dodatne raziskave s pomočjo zadostnih znakov, upoštevanje katerih je podano v nadaljnjem delu oddelka "Vrstice".

Višja matematika

Primeri reševanja nizov tukaj.

Številske vrstice

Faktorijski in dvojni faktorji:

Geometrijski napredek:

  • Znak dalamber
    Če obstaja, potem: konvergira, če l 1; znak ne daje odgovora, če je l = 0.
  • Cauchyjev znak
    Če obstaja, potem: konvergira, če l 1; znak ne daje odgovora, če je l = 0.
  • Integralni znak konvergence
    1) un > 0; 2) un ≥ un + 1; 3) f (x) je neprekinjena nenehna funkcija, f (n) = un.
    Ali in in in konvergiraj,
    bodisi in bodisi in se razhajata.
    • Izmenične vrste

    • Absolutna konvergenca
      Serija konvergira, zato sledi, da se serija konvergira.
    • Pogojna konvergenca
      Serija se razlikuje, vendar se serija konvergira.
    • Izmenične vrste
      Vrstice pogleda ali kje un > 0
    • Znak Leibniz (konvergenca izmeničnih serij)
      Če 1) u1 > u2 > u3 >..., 2) in nato 1) serija konvergira; 2) njegova vsota je S> 0 in 3) S 1; odstopa, če je a ≤ 1.
    • : konvergira, če a 1; odstopa, če je a ≤ 1.
    • : konvergira pogojno.
    • : absolutno zbližuje.
    • : absolutno zbližuje.
    • Funkcionalne vrstice

      Funkcionalna serija - vsota obrazca

      Ko je število številk dobljeno s funkcijsko številko

      Če se pri številski seriji konvergira, se točka imenuje konvergenčna točka funkcionalne serije. Če se na vsaki točki numerična serija konvergira, se funkcionalna serija v regiji imenuje konvergentna. Kombinacija vseh konvergenčnih točk tvori regijo konvergence funkcionalnih serij.

      - delne vsote serije. Funkcionalna serija konvergira v funkcijo f (x), če

      Enotna konvergenca

      Funkcionalna serija, ki konvergira za celotno področje konvergence, se v tem območju imenuje enakomerno konvergentna, če obstaja ∀ε> 0, obstaja indeks N (ε), ki ni odvisen od x, tako da za n> N (ε) velja neenakost R.n(x) y> f (x) + ε, nato grafi vseh delnih vsot Sk(x), začenši z dovolj velikim k, x ∈ [a, b], v celoti ležijo v tem ε-traku, ki obkroža grafno funkcijo omejitve y = f (x).

      - se imenuje majorizirana v domeni, če obstaja takšna konvergentna serijska številka un > 0, to je za x ∈ D fn(x) ≤ un, n = 1, 2,.... Serija se imenuje majorant iz serije.

      Weierstrassov znak (znak enotne konvergence funkcionalne serije): funkcionalna serija se konvergira enakomerno v konvergenčni regiji, če je v tej regiji majorizirana.

      Moč serije:
      - moči v moči
      Ko - moč serije v moči x.

      Regija konvergence močnostnih serij:
      Polmer konvergence, interval konvergence R, x ∈ (-R, R):
      ali
      Ko | x | R - odstopa;
      v točkah x = ± R - dodatna raziskava.

      Pri konvergenčnem intervalu se serija popolnoma konvergira;
      na katerem koli segmentu intervala konvergence se konvergira enakomerno.

        Lastnosti serije Power

      OSP, NSZ: kaj je in kako se pripraviti na to

      Šolski sistem Češke republike in post-sovjetskih držav je drugačen in tuji udeleženec se mora zavedati teh razlik. V tem članku bomo govorili o maturitih in sposobnostih, ki zahtevajo posebne teste - OSP, ZSV in TSP v NSZ.

      Maturita

      Redni študij na čeških šolah traja trinajst let. Pogosto po devetem razredu šolarji, ki so opravili vse potrebne izpite, gredo v gimnazijo ali srednjo specialno šolo, kjer študirajo še štiri leta in na koncu opravijo izpit za pridobitev srednješolske diplome.

      Če želite vpisati visokošolski zavod, morajo češki študenti opraviti izpit iz več obveznih in selektivnih predmetov, ki so sestavljeni iz pisnega in ustnega dela. Prva razlika je v tem, da je na primer v ruskih šolah prehod EGE (nekakšen analog čeških maturitet) obvezen ne le za vstop na univerzo, ampak tudi za pridobitev potrdila o šolskem izobraževanju. V Češki republiki je maturit potreben samo za tiste, ki bodo nadaljevali nadaljnje izobraževanje v visokošolskem zavodu. To pomeni, da njegova odsotnost ne bo vplivala na prejem dokumenta o splošnem izobraževanju.

      Učenci prenašajo tri obvezne predmete: matematiko, češčino in angleščino ter nekaj izbirnih predmetov. Tujec, ki je opravil češki jezik maturit, je nato izvzet iz sprejemnih izpitov.

      Druga razlika je, da ruska EGE pogosto postane glavni izpit za vstop v univerzo, če ne govorimo o ustvarjalnih visokošolskih ustanovah ali posebnih pravilih nekaterih visokošolskih zavodov, po katerih je udeleženec še vedno na vhodnih testih. V Češki republiki, na skoraj vseh fakultetah, je potrebno opraviti sprejemne izpite, o izjemah pa bomo razpravljali v enem od naslednjih člankov.

      "Posebni" preskusi

      Pri nekaterih posebnostih je dovolj, če se želijo podati tekmovanje, dokazati na ustnem izpitu, kjer prijavitelj odgovori na nekaj vprašanj na temo specialnosti. Na drugih, morate iti skozi dve ali tri ture priti v coveted seznam vpisa.

      Obstajajo tudi takšne posebnosti, pri katerih je glavna zahteva uspešen preizkus testa NSZ - Národní srovnávací zkoušky (ruski nacionalni primerjalni izpiti), pri katerem se izvajajo testi: Obecné studijní předpoklady (ruski. Splošni predpogoji za usposabljanje), Základy společenských vědechny Ruske osnove družbenih znanosti), NSZ Přírodní vědy (Rus. Natural Sciences) in nekatere druge.

      Preizkuse pripravi podjetje Scio, na uradni spletni strani pa najdete vzorce gradiva, nasvete in seznam fakultet, ki sprejemajo kandidate na podlagi opravljenega izpita: https://www.scio.cz/.

      V Češki republiki jih je petdeset, med njimi je na primer Pravna fakulteta in Fakulteta za družbene vede na Karlovi univerzi, Fakulteta za informatiko in statistiko Ekonomske šole v Pragi, Fakulteta za arhitekturo UWUT in drugi.

      Bodite previdni: test OSP ni na voljo za vse specialitete navedenih fakultet!

      Kakšni so testi

      Na izpit se lahko prijavite pred oddajo povabila - prijave za izobraževanje, ki jo prijavitelji pozimi pošljejo na želeno univerzo. Če želite to narediti, pojdite na uradno spletno stran Scio, registrirajte se na njej, izberite točke: Přijímačky na VŠ, Přihlasit, odkljukajte zahtevan izpit, plačajte za to.

      Izpit poteka šestkrat letno: 10. december, 3. februar, 4. marec, prvi in ​​dvajseti april, sedemindvajseti maj. Torej ima prosilec šest poskusov, da preide NSZ, medtem ko bo univerza dobila le najboljši rezultat.

      Test OSP je sestavljen iz več delov: verbalnega, kvantitativnega, logičnega in argumentacijskega. Dvajset in trideset minut sta dodeljena prvih dveh in pol ure do zadnjega.

      Verbalni del preverja kandidatovo sposobnost za delo z jezikom. Potrebno bo, na primer, dopolniti stavke, določiti pomen besed.

      Kvantitativni del je delo s številkami, odstotki. Prevajalci testa zagotavljajo, da za reševanje teh nalog ni potrebno globoko znanje iz matematike.

      Logični del so logične naloge.

      Razdelek argumentacije je zmožnost določanja pomena besedila, da bi našli pravilno izjavo.

      Na spletnem mestu Scio lahko opravite testne teste s pravilnimi odgovori.

      Kako se pripraviti

      Najpomembnejša stvar je, da se začnete pripravljati vnaprej. Bodite prepričani, da kupite knjige s testi in odgovori nanje. To je lahko na primer OSP 9 Scio, katerega cena se giblje okrog tristo kron ali je možnost dražja: Cvičebnice OSP: komplexní příprava na test Obecné studijní předpoklady 2015/2016. Potrebno je nenehno reševati preizkusne možnosti, da bi razumeli načelo nalog in hitro obvladali vse na samem izpitu.

      Ne bo odvečnih knjig iz serije Odmaturuj, v katerih se zbirajo kratke informacije o celotnem šolskem predmetu določene teme. Na tej spletni strani: http://www.osp-zdarma.cz/, so vsak mesec določeni štirje deli testa z nalogami. Lahko greste preko njih na spletu in nato dobite odgovor z rezultati. To je odlična priložnost za tiste, ki ne želijo kupiti knjig s testi.

      Pravilno dodeliti čas za pripravo na izpit, odloči čim več testov in se prepričajte - uspelo vam bo! Ne pozabite, da se lahko z vsemi vprašanji na NSZ obrnete na izkušene učitelje Združenja izobraževalnih centrov.

      Vrstica v matematiki

      1. Opredelitve. R. je zaporedje elementov, zbranih po nekem zakonu. Če je R. podan, to pomeni, da je zakon označen, s pomočjo katerega je mogoče sestaviti poljubno število elementov R. Glede na lastnost elementov se razlikujejo R. številk, R. funkcij in R. Dajmo nekaj primerov.

      obstajajo R. naravna števila;

      a 0, 1 x, 2 a 2. a n x n.

      - R. močnostne funkcije ali moč R.

      Tukaj so številke 0, 1, 2. a n. na primer v skladu z določenim zakonom.

      1, x, x 2 / (1.2), x 3 / (1.2.3). x n / (1.2. n).

      0, x, x 2/2, x 3/3, x 4/4. (—1) n-1 x n / n..

      Za izračun numerične vrednosti določenega izraza je potrebno izvesti dejanje. Na primer

      Z delovanjem R. se išče največji delitelj dveh danih števil.

      P. u 0, u 1, u 2,... u n.

      klic neskončno, če za vsakim elementom u k obstaja element u k + 1; sicer se imenuje R. končno. Na primer

      obstaja končni R., ker po elementu 10 ni elementov.

      2. Število, določeno s številko.

      Posebej pomembni so neskončni R. oblike

      (1). 1/10, 2/10 2,. a n / 10 n,.

      kjer je 1, 2, 3,. a n,. pozitivna cela števila, a 0 je poljubno veliko; vsaka od drugih številk 1, 2, 3. manj kot 10. Takšno serijo lahko imenujemo število, ker je to serijo mogoče primerjati z racionalnimi številkami (glej), možno je določiti koncepte enakosti, vsote, produkta, razlike in količnika takšnih serij.

      R. (1) za krajnost označujemo z eno črko a.

      Rečeno je, da je a več kot racionalno število p / q, če je za dovolj veliko n neenakost

      a 0 + a 1/10 + a 2/10 2 +. + a n / 10 n> p / q

      Če za vse n

      a 0 + a 1/10 + a 2/10 2 +. + n / 10 n ne> p / q

      vendar z dovolj velikim n

      a 0 + a 1/10 + a 2/10 2 +. + a n / 10 n> r / s

      kjer je r / s poljubno sprejeta številka, manjša od p / q, se šteje, da je a enako p / q.

      Na tej podlagi R.

      9/10, 9/10 2, 9/10 3.

      enaka eni. Ta enakost je označena na naslednji način: 0, 999. = 1.

      Če a ni enaka 9, in vse nadaljnje številke

      a k +1, a k +2, a k +3,. enako 9, je število a, definirano s P. (1), enako

      a 0 + a 1/10 + a 2/10 2 +. + (a k + 1) / 10 k.

      Če niso vse številke k + 1, vendar k + 2, vendar k + 3. enako 9

      a = a 0 + a 1/10 + a 2/10 2 +. + a k / 10 k

      Lahko se zgodi, da so vsi elementi serije (1), ki se začnejo s k + 1, enaki nič. V tem primeru, v skladu z opredelitvijo

      Če za R. s pozitivnimi člani

      vendar, in 0, in 1, u 2,. in n.

      lim (u n + 1) / u n = 1 - r / n + θ (n) / n α,

      kjer r ni odvisen od n, α> 1 in θ (n) v numerični vrednosti ostane stalno manj kot nekaj pozitivnega števila, potem se P konvergira pri r> 1 in odstopa, ko je r manjši ali = 1 (strojarna, "Uvod a la theorie des spremenljivka », str. 84).

      4. Pogojna in absolutna konvergenca. Če je R. (4) v 0, v 1, v 2. v n.

      konvergenten, vendar R. modulov svojih članov divergenten, potem pravijo, da je R. (4) pogojno konvergenten. Na primer

      R. je poklical absolutno konvergenten, če se R. moduli njegovih članov zbližajo.

      Znesek pogojno konvergentnega R. se spreminja glede na vrstni red članov. Na primer

      1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +. = log2,

      vendar 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +.

      = 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +. = 1/2 log 2.

      Vsota absolutno konvergenčnega R. ni odvisna od vrstnega reda njenih članov.

      Če se število a in b razgradita v absolutno konvergentno R.

      a = a 0 + a 1 + a 2 +.

      b = b 0 + b 1 + b 2 +.

      a 0 b 0, a 0 b 1 + a 1 b 0, a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0,.

      popolnoma konvergentna in poleg tega

      a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0) + (a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0) +. = ab

      5. Enotna konvergenca. Recimo, da je R.

      (5). f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x),. f n (x).

      katerih člani so funkcije ene spremenljivke x, ki lahko sprejme tako realne kot imaginarne (glej) vrednosti. Kombinacija vrednosti x, za katere je ta R. konvergentna, predstavlja tako imenovano domeno konvergence.

      1, x, 1,2 x 2, 1,2,3 x 3..

      konvergentna samo za x = 0.

      R. 1, x, (1/2 + 1,2 x 2), (1/3 + 1,2,3 x 3).

      divergentno z vsakim x.

      R. 1, x / 1, (x 2 / 1.2), (x 3 / 1.2.3).

      zbiranje pri kateri koli vrednosti x. Če je moč P. α 0, α 1 x, α 2 x 2,.

      zbiranje pri nekaterih vrednostih x ni nič, potem je ta P. spust. in za vsak x, katerega modul je manjši od nekega števila R. Če uporabimo geometrično predstavitev namišljenih količin (glej), lahko rečemo, da je območje konvergence tega R. krog polmera R.

      Primer je geometrijska progresija

      1, x, x 2, x 3,. katerih polmer kroga konvergence je en.

      Če x pripada regiji zbiranja. P. (5), potem za katerokoli n več kot nekaj število m

      mod [f n (x) + f n + 1 (x) + f n + 2 (x) +. ] Log ε / Log x

      Naprej, v tem primeru

      Kot lahko vidite, je t odvisno od x. Ne glede na to, kako velik je m, obstajajo vrednosti x v intervalu (0, 1), tako da neenakost (7) ne bo izpolnjena za noben n, večji od m. Če je x = 1, potem je neenakost (7) izpolnjena, če je n večji ali = 1

      To dokazuje, da je obravnavana R. neenakomerno spuščena. med 0 in 1.

      0 - 1 in pri x = - 1, če je m> 0 (Abel, "Oeuvres complètes", 1881, str. 245).

      S pomočjo neposredne delitve se racionalne funkcije razgradijo v moč R. V ta namen lahko uporabite metodo negotovih koeficientov. Dajanje, npr.

      1 / (1 + 2 t + 5 t 3 + 3 t 3) = y 0 + y 1 t + y 2 t 2 + y 3 t 3 +.

      y 0 = 1, y 1 + 2 y 0 = 0, y 2 + 2 y 1 + 5 y 0 = 0,

      y 3 + 2 y 2 + 5 pri 1 + 3 pri 0 = 0,

      y 4 + 2 y 3 + 5 pri 2 + 3 pri 1 = 0 itd.

      R. koeficienti y 0, y 1, y 2. ima lastnost štirih zaporednih koeficientov. so povezani z razmerjem y n +3 + 2 y n + 2 + 5 pri n +1 + 3 pri n = 0.

      Ta vrsta R. je klicala. vrniti. Iz zapisanih enačb se zaporedoma določijo y 0, y 1, y 2.

      Razčlenitev te funkcije v R. najdemo s pomočjo integralnega računa, če je razkroj v R. znan. Na ta način dobimo razgradnjo.

      (14). arc tg x = x - (x 3/3) + (x 5/5) -.

      (15). arc sin x = x / 1 + 1/2 (x 3/3) + (1,2 / 2,4) (x 5/5) +.

      veljajo za vrednosti x, ki izpolnjujejo pogoje

      Tu arc tan x in arc sin x označujeta številke, ki ležijo med -π / 2 in π / 2 in katerih tg ali greh je x.

      R. (14) s pomočjo Machenove formule (Machin)

      π / 4 = 4 arc tg (1/5) - lok tg (1/239)

      omogoča zelo hitro izračunavanje π z velikim številom decimalnih mest. Tako Shanks izračuna π s 707 decimalnimi mesti. Razgradnja funkcij v trigonometrično R. in razgradnja eliptičnih funkcij bo opisana kasneje.

      Enciklopedični slovar F.A. Brockhaus in I.A. Efron. - S.-PB.: Brockhaus-Efron. 1890-1907.

      Oglejte si, kaj je "Row in Mathematics" v drugih slovarjih:

      RANGE (iz matematike) - RANGE, neskončna serija, katere izrazi so člani a1, a2. a. številke (serija številk) ali funkcija (serija funkcij). Če je vsota prvih n članov serije (delna vsota): Sn = a1 + a2 +. + z neomejenim povečanjem v n teži k...... enciklopedičnemu slovarju

      Vrstica, iz matematike - Vsebina. 1) Opredelitev. 2) Število, določeno s številko. 3) Konvergenca in divergenca serije. 4) Pogojna in absolutna konvergenca. 5) Enotna konvergenca. 6) Razgradnja funkcij v serijah. 1. Opredelitve. R. je zaporedje elementov,...... Enciklopedični slovar Brockhaus in I.A. Efrona

      Vrstica ima več pomenov: Vrstica je niz homogenih, podobnih objektov, razporejenih v eni vrstici. Zaporedje vseh pojavov, ki sledijo eden za drugim v določenem vrstnem redu. Nekateri, veliko število, na primer, "številne države"... Wikipedija

      Serija (matematična) - Serija, neskončna vsota, na primer oblike u1 + u2 + u3 +. + un +. ali, skratka, (1) Eden od najpreprostejših primerov R., ki je že prisoten v osnovni matematiki, je vsota neskončno padajoče geometrijske progresije 1 + q + q 2 +. + q...... Velika sovjetska enciklopedija

      Taylorjeva serija - Taylorjeva serija je funkcijska razgradnja v neskončno vsoto močnostnih funkcij. Serija je dobila ime po angleškem matematiku Brooke Taylor, čeprav je bila serija Taylor znana že dolgo pred Taylorjevimi publikacijami, ki jih je v 17. stoletju uporabil Gregory, in...

      Maclaurinova serija - Taylorjeva dekompozicija funkcije v neskončno vsoto močnostnih funkcij. Serija je dobila ime po angleškem matematiku Taylorju, čeprav je bila serija Taylor znana že dolgo pred Taylorjevimi publikacijami, ki jih je Gregory, pa tudi Newton, uporabljal že v 17. stoletju. Vrstice...... Wikipedija

      Taylorjeve serije - razgradnja funkcije v neskončno vsoto funkcij moči. Serija je dobila ime po angleškem matematiku Taylorju, čeprav je bila serija Taylor znana že dolgo pred Taylorjevimi publikacijami, ki jih je Gregory, pa tudi Newton, uporabljal že v 17. stoletju. Taylor Rows...... Wikipedija

      Möbiusova serija - Möbiusova serija Funkcionalna serija vrste To serijo je raziskal Möbius, ki je našel formulo kroženja za to serijo: kje je Möbiusova funkcija... Wikipedia

      Vrstica - I m. 1. Set homogenih predmetov, ki se nahajajo v eni vrstici. od Zgradite v eno vrstico; rang. 2. Linearno zaporedje sedežev v gledališču, kinu itd. od Osebe, ki zasedajo take kraje. 3. Stojnice, ki se nahajajo v eni vrstici... Sodoben razlagalni slovar ruskega jezika Ephraim

      Vrstica - I m. 1. Set homogenih predmetov, ki se nahajajo v eni vrstici. od Zgradite v eno vrstico; rang. 2. Linearno zaporedje sedežev v gledališču, kinu itd. od Osebe, ki zasedajo take kraje. 3. Stojnice, ki se nahajajo v eni vrstici... Sodoben razlagalni slovar ruskega jezika Ephraim